Van Maanen Hans van Maanen
klikklikklikklik

Ook Yahtzee bezwijkt

Na boter-kaas-en-eieren, vier-op-een-rij en go-moku is nu ook Yahtzee door de computer gekraakt. Het spel is opgelost -- voor elke worp in elke beurt in elke ronde weet de computer precies wat hij het best kan doen.

Het Parool van 9 oktober 1999


Het leven in het algemeen, en Yahtzee in het bijzonder, zit vol moeilijke beslissingen. Het is uw allereerste beurt, u gooit direct drie zessen en twee enen -- wat moet u doen? De drie zessen bewaren, of snel 25 scoren in full house? U besluit de zessen te bewaren, en gooit er in de derde poging nog een zes en een twee bij. Wat te doen: 24 scoren in de zessen, of 26 in vier gelijke?

Geroutineerde Yahtzee-spelers weten wel ongeveer -- of denken wel ongeveer te weten -- welke worpen ze waar moeten scoren om een zo hoog mogelijke eindscore te bereiken. Maar de computer kan het ze precies kunnen vertellen, zoals de computer ook niet meer te verslaan is bij andere denkspelletjes.

Afgelopen dinsdag introduceerde de Eindhovense wiskundige Tom Verhoeff op een bijeenkomst op de Technische Universiteit zijn oplossing voor Yahtzee. Hij heeft via een ingenieus computerprogramma alle mogelijke worpen en scores doorgerekend, en is bijvoorbeeld tot de slotsom gekomen dat u in de eerste worp het best de zessen opzij kunt leggen: dan mag u een eindscore van 265 punten verwachten, terwijl de full house u een verwachte eindscore van 254 punten oplevert. Ook het tweede dilemma is snel opgelost: beter is het de zessen te nemen (voor een verwachte eindscore van 268 punten) dan de vier gelijke (262 punten).

Daarmee is het spel, ongeveer vijftig jaar nadat het werd bedacht, geheel ontrafeld. Volgens spellenfabrikant Hasbro, eigenaar van de naam Yahtzee, werd het spel ontworpen door een rijk Canadees echtpaar om aan boord van hun jacht te spelen. Het heette dan ook aanvankelijk Yacht, en onder die naam is het nog steeds wel bekend. In 1956 benaderden zij Edwin Lowe, de man die in de jaren twintig rijk was geworden met het verkopen van Bingo-spellen, met de vraag of hij het spel op de markt wilde brengen. Lowe veranderde de naam in Yahtzee. Aanvankelijk liep de verkoop volstrekt niet, maar nadat Lowe speciale Yahtzee-feestjes was gaan geven, verspreidde het spel zich sneller. Tegenwoordig worden er meer dan vijftig miljoen spellen per jaar verkocht, en Hasbro schat dat ongeveer honderd miljoen mensen op de hele wereld het regelmatig spelen.

De regels kunnen dus wel bekend worden verondersteld. De aantrekkingskracht van het spel zit natuurlijk in de eenvoud van die regels, de combinatie van geluk en kunde, en de voortdurende dilemma's zoals hierboven geschetst. Daarnaast raakt het spel nooit uitgeput: er zijn in totaal bijna 3 x 10119 (een 3 met 119 nullen) verschillende spelverlopen mogelijk. Bij boter-kaas-en-eieren zijn dat er 5478, bij vier-op-een-rij zeventig biljoen (een 7 met 13 nullen).

'Maar door de aard van het spel is het wel mogelijk flink te snoeien in het aantal door te rekenen mogelijkheden,' zo zei Verhoeff. 'Voor de computer maakt het bijvoorbeeld niet uit welke stenen een speler heeft opgenomen voor een volgende poging, het gaat om het resultaat. Hoe een full house tot stand gekomen is doet er niet toe. Ook al verschilt het verleden, de toekomstmogelijkheden blijven gelijk.'

Voor het beschouwen en doorrekenen van alle spelsituaties maakt de computer gebruik van een zogenaamde 'spelboom'. De eerste worp van een beurt geeft bijvoorbeeld 6 mogelijkheden voor een yahtzee, 30 voor een full house en 150 voor drie gelijke. Wie in de tweede worp drie gelijke gooit, kan weer verschillende voortzettingen kiezen, maar een aantal zeker niet. Wie met drie zessen en twee enen besluit de zessen te laten liggen, kan niet met de laatste worp drie enen, of tweeÎn, werpen. Bovendien maakt het niet uit of die drie gelijke ineens in de tweede worp werden gegooid, of in twee worpen bijeen werd gesprokkeld. 'Ook dat scheelt erg in het rekenwerk,' aldus Verhoeff.

Terug naar boven

Dat er toch nog zoveel verschillende spelmogelijkheden zijn, heeft ermee te maken dat het Yahtzee-papiertje ook nog op miljarden verschillende manieren kan worden ingevuld. Anderzijds, voor de computer geeft het niet of iemand een 0 bij grote straat heeft ingevuld of 40: het is alleen van belang dat het vakje bezet is (al scheelt het uiteraard wel voor de score).

Uiteindelijk slaagde Verhoeff erin het complete spel door de computer te laten uitrekenen en doorrekenen, en sinds kort staat zijn 'Optimal Solitaire Yahtzee Player' ook op het internet.

Opmerkelijk genoeg verscheen enkele maanden geleden van de Duitse wiskundige Felix Holderied, werkzaam aan de universiteit van Karlsruhe, eveneens een Yahtzee-speler op het web. Via een iets andere wiskundige techniek had ook Holderied het Yahtzee-spel -- al enige jaren geleden -- opgelost en besloot hij onlangs het geschikt te maken voor het internet. Kennelijk was de tijd aangebroken dat computers het spel konden kraken, en kregen twee wiskundigen onafhankelijk van elkaar hetzelfde idee.

Verhoeffs web-pagina biedt verder een fraaie vaardigheidstoets, waarmee de computer aan het eind van het spel alle keuzes analyseert, aangeeft wat een betere keus was geweest, en berekent hoeveel dat had gescheeld op de eindscore. Wie de toets vaak ondergaat, verbetert spelenderwijs zijn strategie.

Verhoeff heeft met zijn programma natuurlijk ook al een uitgebreidere analyse van het complete spel gemaakt. Zo blijkt dat de gemiddelde winstverwachting voor een spel uitkomt op 254,59 punten. Holderied komt overigens uit op 245,87 punten, maar dat komt omdat hij niet werkt met de extra yahtzees en jokers (de jokers maken niet zoveel uit, maar de extra yahtzee-bonus scheelt flink -- ook in de strategie).

Verder kon Verhoeff afgelopen dinsdag verklappen dat op den duur de helft van de spelletjes boven de 248 punten zullen uitkomen, dat de beste beurt om mee te beginnen, een yahtzee, de winstverwachting meteen opschroeft naar 321 punten, en dat de slechtste eerste beurt met 2 3 4 4 6 eindigt. Het beste is het dan in dat geval maar 19 in kans te zetten, maar de winstverwachting voor het spel zakt hoe dan ook met maar liefst 15,6 punten.

Het kan trouwens nog slechter: als de dobbelstenen helemaal niet willen meewerken, kan een speler zelfs met de beste strategie uitkomen op een eindscore van 12 punten. Verder wordt in twee derde van de partijen de bonus voor de bovenste helft niet gehaald, kan met de goede strategie eens in de drie spelletjes yahtzee worden gegooid, en moet in de eerste beurt nooit vier gelijke worden gescoord.

Ook al is Yahtzee opgelost, dat betekent niet dat wiskundigen nu klaar zijn met hun berekeningen. 'Alleen al het criterium 'optimaal' valt op veel manieren uit te leggen,' aldus Verhoeff. 'De meest voor de hand liggende strategie is natuurlijk zoveel mogelijk punten te halen. Maar onder 'optimaal' zou je ook kunnen verstaan het zo groot mogelijk maken van de kans een bepaalde score te overtreffen waarbij je af en toe heel lage scores voor lief neemt. Of juist het zo klein mogelijk maken van de variatie in je eindscores, of het zo groot mogelijk maken van de kans je tegenstander te verslaan. Nog genoeg te doen.'

Terug naar boven