FC Algebra. Cijfers en sport
- Als het ontvangende team in de eredivisle voetbal als eerste scoort, is het al voor 97 procent zeker dat er niet meer verloren zal worden.
- In tegenstelling tot wat veel basketballers denken, bestaat er niet zoiets als 'op schot' zijn.
- Het wereldrecord dat Yvonne van Gennip in 1987 vestigde, overtreft de tijden van Ard Schenk en Kees Verkerk twintig jaar eerder ruimschoots. Het lijkt een kwestie van tijd: wat mannen nu halen, halen de vrouwen een paar jaar later.
- Als de vijfhoekjes van een voetbal een fractie groter worden gemaakt ten koste van de zeshoekjes, wordt de bal aanmerkelijk ronder.
Wiskunde en sport vormen een verrassende combinatie. Sport kent talloze facetten die cijfermatig kunnen worden benaderd. FC Algebra gaat op zoek naar de cijfers in en achter de sport. U hoeft beslist geen wiskundige -- of sporter -- te zijn om supporter te worden.
Uitgeverij Boom, Amsterdam / Belvédère, Overveen
Eerste druk 1998
Uitverkocht
ISBN 90-5352-408-8
Inhoud
Voorbespreking
Hoofdstuk 1. Het wordt al spannender
Per minuut meer doelpunten
Halverwege naar huis
Recht op een doelpunt
Met tien man verder
Hoofdstuk 2. Allen tegen allen
Maak uw eigen competitie
Elf op een rij
Het tweetallig toernooi
Lewis Carroll op Wimbledon
Weinig verrassingen
Alle competities even spannend
Hoofdstuk 3. Afdingen op wereldrecords
Halen de dames de heren in?
Het record op de 40048 cm
Hoofdstuk 4. Het bruine monster
Een afgezaagd twintigvlak
Een rondere voetbal
Hoofdstuk 5. Meer geluk dan toeval
Het is ongelijk verdeeld
Goed op schot of op goed geluk
Waarom debutanten vaak tegenvallen
De langste serie ooit
Hoofdstuk 6. Kleine zevenkamp
Een gemener dartbord
Afgetekende overwinningen
Vanwaar te converteren?
Chips tegen neuronen
Een gelijkzijdige driekamp
Het belang van de zevende game
Twee in een vak
Hoofdstuk 7. Significante uitslagen
Nog meer doelpunten per minuut
Nederland-België
Zijn basketballers lang?
Topsporters zijn leeuwen
Onbetrouwbare slagmannen
Het thuisvoordeel
Hoofdstuk 8. Van punt tot punt
Tot de vier of tot de vijftien
Twee punten verschil
Tennistelling
Tennistelling de luxe
Fataal opslagverlies
Hoofdstuk 9. Rangen en standen
De noodzaak van een ranglijst
Een gunstiger loting
Beter golf
Eerst de rijksten: de ATP-ranglijst
De telling bij kunstschaatsen
Hoofdstuk 10. Sint-Elo
De Elo-ranglijst
Begin uw eigen ranglijst
De groei naar meesterschap
Een lijst met fouten
Nabespreking
Eredivisie 1996-1997
Atletiekrecords per 1 januari 1998
De normale verdeling
Voorbespreking
Ik hou van sport, en ik hou van cijfers -- vandaar. Sport geeft mij de mogelijkheid veel te hollen en mijn cijferstokpaardje te berijden, en cijfers bieden de mogelijkheid te puzzelen en op een andere manier tegen sport aan te kijken.
Over sport en wiskunde is betrekkelijk veel geschreven, maar vooral in vakbladen. In dit boekje heb ik geprobeerd de aardigste bevindingen te verzamelen die de laatste jaren zijn gedaan. Maar wiskunde is nu eenmaal voor veel mensen, zoals dat heet, een Angstgegner, dus ik ben omzichtig te werk gegaan. Meer dan solide schoolwiskunde is nergens voor nodig, en ik heb getracht wat lastiger zaken zo kalm mogelijk uit te leggen. Symbolen en formules zijn natuurlijk nooit helemaal te vermijden -- ze horen nu eenmaal bij de techniek van de tegenstander. Pas in de tweede helft van het boekje, na de rust, krijgt de wiskunde wat meer de overhand.
Anderzijds, wiskunde en statistiek zelf zijn ook leuk, en sport biedt een mooie gelegenheid daar af en toe wat meer over te vertellen. Maar een verkapt leerboek is FC Algebra natuurlijk niet.
Veel dank ben ik verschuldigd aan de wiskundigen Sven Troschke en Axel Scheffner, die mij met veel geduld over heel wat dode punten hebben geholpen. Peter Vermij en Jan Willem Nienhuys hebben scherpzinnig commentaar gegeven en het manuscript van toch nog pijnlijk veel fouten ontdaan. Zonder Barbara had ik de eindstreep niet eens gehaald.
Per minuut meer doelpunten
In de hoogste afdeling van de Nederlandse voetbalcompetitie werd in het seizoen 1996-1997 in totaal 864 keer gescoord -- gemiddeld per minuut 9,6 doelpunten. De verdeling per minuut, uitgesplitst in doelpunten gescoord door de thuisspelende en de uitspelende ploeg, wordt gegeven in figuur 1.
Figuur 1. Aantal doelpunten per minuut, seizoen 1996--1997.
Het eerste wat opvalt, is dat er opmerkelijk vaak gescoord wordt aan het eind van het derde en het zesde kwartier: in de vijfenveertigste minuut werd negentien keer gescoord, en de negentigste zelfs dertien keer.
De verklaring ligt voor de hand. De laatste minuut voor de rust en de laatste van de wedstrijd duren meestal onevenredig lang: het zijn de minuten waarin de scheidsrechter de speeltijd bijtelt die eerder verloren is gegaan door blessures, vervangingen en ander oponthoud. Althans, zo lijkt het vanaf de kant. Voor de scheidsrechter en de spelers is er geen sprake van ‘extra’ speeltijd: er worden gewoon vijfenveertig en negentig minuten volgemaakt, de scheidsrechter zet immers zijn klok stil bij oponthoud. Voor hen bestaat eigenlijk geen ‘blessuretijd’ -- zij houden zich aan tweemaal vijfenveertig minuten zuivere speeltijd.
Het tijdstip waarop het doelpunt valt, wordt echter buiten het veld bijgehouden -- door de ‘vierde official’ en door verslaggevers -- en niet door de scheidsrechter in het veld. Als de doelpunten waren geklokt op het horloge van de scheidsrechter, zouden de twee pieken aan het eind van de speelhelften niet bestaan of in ieder geval veel minder hoog zijn: de pieken ontstaan alleen door de manier van meten, doordat de klok in het veld niet gelijk loopt met de klokken buiten het veld.
Maar ook afgezien van die laatste minuten lijkt er een zekere groei in het aantal doelpunten per minuut te zitten naarmate de wedstrijd vordert. Dit wordt veel duidelijker als de doelpunten worden samengevat per kwartier, zoals in tabel 1.
| Kwartier | Aantal doelpunten |
| 1 | 103 |
| 2 | 122 |
| 3 | 153 |
| 4 | 150 |
| 5 | 152 |
| 6 | 184 |
Tabel 1. Doelpunten per kwartier in het seizoen 1996--1997.
Aannemend dat aan het eind van de eerste helft wat veel werd gescoord en in het vijfde kwartier wat weinig, dan zien we duidelijk een opgaande lijn in het aantal doelpunten per kwartier naarmate de tijd verstrijkt. In het laatste kwartier zijn 184/103 = 1,79 keer zoveel doelpunten gevallen als in het eerste kwartier.
Een enkel seizoen zegt nog niet zoveel. Teneinde een beter beeld te krijgen, nemen we ook de cijfers van de drie voorafgaande seizoenen erbij.
Hiervan staan de cijfers in tabel 2.
| Kwartier | 93-94 | 94-95 | 95-96 | Totaal | Gemiddeld |
| 1 | 113 | 141 | 108 | 362 | 121 |
| 2 | 113 | 147 | 129 | 389 | 130 |
| 3 | 134 | 158 | 158 | 450 | 150 |
| 4 | 167 | 157 | 155 | 479 | 160 |
| 5 | 176 | 178 | 170 | 524 | 175 |
| 6 | 197 | 200 | 200 | 597 | 199 |
| Totaal | 900 | 981 | 920 | 2801 |
Tabel 2. Doelpunten per kwartier in drie seizoenen.
Allereerst valt op dat het seizoen 1996-1997 wat doelpunten betreft niet rijk is bedeeld: in de voorafgaande seizoenen werd steeds rond de negenhonderd keer gescoord.
Ook tekent zich de trend in de kwartieren nu scherper af. Uit het grotere overzicht blijkt dat in het laatste kwartier bijna 1,7 keer zo vaak wordt gescoord als in het eerste, en niet bijna 1,8 zoals wij op grond van de cijfers van het seizoen 1996--1997 dachten. Bovendien blijkt dat het laatste kwartier van de eerste helft zich beter aan de lijn houdt dan dat ene seizoen zou doen vermoeden.
Op grond van de vier seizoenen tezamen kunnen we een meer algemene lijn uitzetten, waarin het aantal doelpunten direct in verband wordt gebracht met het speelkwartier.
Met enig rekenen en schatten komen we tot de volgende vergelijking:
N = 15 * k + 100
waarin k het kwartier voorstelt en N het aantal doelpunten. Dit verband is opmerkelijk rechtlijnig en eenvoudig, en geeft een mooie verwachting voor de gemiddelden van de seizoenen vanaf 1993.
| Kwartier | Waargenomen | Verwacht |
| 1 | 117 | 115 |
| 2 | 127 | 130 |
| 3 | 150 | 145 |
| 4 | 158 | 160 |
| 5 | 171 | 175 |
| 6 | 194 | 190 |
Tabel 3. Gemiddeld waargenomen en verwachte doelpunten in vier seizoenen.
De waarde volgens de formule wijkt nergens meer dan 5 doelpunten af van de werkelijkheid: de ‘pasvorm’ is uitstekend.
Opmerkelijk is, dat deze formule ook amper te verbeteren is -- een ingewikkelder formule, met kwadraten of derde machten, geeft geen betere benadering van de werkelijkheid.
Het is trouwens verleidelijk de formule nog mooier te maken en te herschrijven als
N = m + 100,
waardoor we zelfs het aantal doelpunten in minuut m kunnen voorspellen, maar daarmee pretenderen we een exactheid die we niet kunnen waarmaken. Per kwartier is mooi genoeg.
Figuur 2. Doelpunten per kwartier in vier seizoenen, met de lijn y = 15x + 100
Figuur 2 laat nog eens zien dat de cijfers voor het seizoen 1996-1997 bij de moyennes achterblijven. Als we aannemen dat de formule de juiste verwachting van het aantal doelpunten per kwartier geeft, dan werd in 1996-1997 alleen in het kwartier voor de rust behoorlijk gescoord. De vraag blijft voorlopig of hier sprake is van toeval of van een echte trendbreuk.
Het record op de 40048 cm
Het onvoorstelbare gebeurde bij de Olympische Spelen van 1972 in München: de zwemmers Tim McKee en Gunnar Larsson eindigden op de vierhonderd meter wisselslag met een verschil van slechts twee duizendsten van een seconde: Larsson in 4:31,981 en McKee in 4:31,983. De gouden plak ging naar Larsson, die daarmee een sensationele come-back maakte. De tijdmeting, zo zei iedereen aanvankelijk, staat toch maar voor niets -- records kunnen tegenwoordig tot op de duizendste seconde nauwkeurig worden gemeten. Tot iemand zich ging afvragen hoeveel dat nu in millimeters scheelde. Als in 271,981 seconde 400 meter wordt afgelegd, dan wordt in een duizendste seconde 1,47 millimeter afgelegd. Als de baan van McKee dus een paar millimeter korter was geweest, had hij gemakkelijk gewonnen -- sterker nog: aangezien de zwemmers acht baantjes zwommen, kwam een verschil van een duizendste seconde overeen met 0,18 millimeter. Een verschil van twee duizendste seconde staat voor een lengteverschil van 0,37 millimeter op een zwembad van vijftig meter.
Dat verschil is volstrekt onmeetbaar -- een keer een haar op de aantikplaat zou voldoende zijn om het verschil te verklaren. Zelfs de allerbeste landmeetkundige instrumenten kunnen hoe dan ook slechts tot op de millimeter nauwkeurig meten, en de meeste hebben een onzekerheid van 2 of 3 millimeter.
Vandaar dat de internationale zwembond schielijk besloot dit soort ‘nauwkeurigheid’ niet meer in de overwegingen te betrekken, en de tijdmeting tot honderdsten te beperken.
De volgende vraag is natuurlijk, of die honderdsten van seconden wel betekenis hebben.
Een zwembad is weliswaar tot op de paar millimeter nauwkeurig te meten, maar niet tot op de millimeter nauwkeurig aan te leggen. Betonnen bakken zijn nu eenmaal niet eenvoudig haaks te maken. De FINA, de internationale zwembond, is daarom niet al te streng. Regel FR 2.2.1 zegt: ‘Bij een nominale lengte van 50,0 meter is een tolerantie van plus 0,03 meter en minus 0,00 meter aan beide uiteinden toegestaan.’ Een bad mag dus wel zes centimeter langer zijn, maar niet korter.
Een verschil van, in het ongunstigste geval, zes centimeter kan echter fors oplopen. Bij acht baantjes kan de zwemtocht maar liefst 48 centimeter langer worden dan de geclaimde 400 meter. Het wereldrecord 400 meter wisselslag staat inmiddels op 4:12,30, dat betekent dat er gemiddeld 0,63 seconde over een meter wordt gedaan. Op 48 centimeter scheelt dat 0,30 seconde. Het wereldrecord is dus, als er geen rekening wordt gehouden met de exacte lengte van het bad, eigenlijk zelfs niet op de tiende seconde nauwkeurig te geven.
Het Olympische verschil van een duizendste seconde is afgeschaft, maar verschillen van tienden van seconden zijn in feite even wezenloos zo lang er niet wordt gecorrigeerd voor de afstand.
Het probleem wordt uiteraard groter naarmate de afstand toeneemt. De 1500 meter vrije slag wordt gezwommen in minimaal 14:41,66 -- dat zijn dertig baantjes in een vijftigmeterbad en een maximaal verschil in afgelegde weg van 1,80 meter, dus in tijd van ruim een seconde, om precies te zijn 1,06 seconde. Als het record in een groot bad is gezwommen, is het geen kunst in een krap bad tot 14:40,60 te komen.
De Nederlandse zwembond erkent het probleem, maar er worden geen stappen ondernomen om de zaak recht te trekken. In feite is de zaak zelfs verslechterd sinds veel wedstrijdbanen een beweegbare dam hebben waarmee het bad verschillende lengten kan krijgen -- in yards en in meters. Die dammen zijn meestal van kunststof, met metalen frames. Aan die dammen worden ook de wedstrijdlijnen bevestigd, en die worden flink strakgetrokken om de golfslag in het bad zoveel mogelijk te dempen. Daardoor wordt de dam zichtbaar kromgetrokken. Het moet centimeters verschil maken voor de middelste banen, maar het is nooit nagemeten.
Atletiekbanen mogen van de Nederlandse atletiekbond slechts twee centimeter op de vierhonderd meter afwijken. Het wereldrecord tien kilometer hardlopen voor heren ligt iets boven de 26,5 minuten, zeg 1600 seconden. Elke centimeter dat de baan afwijkt van de 400 meter, scheelt na tienduizend meter 0,04 seconde. De totale tolerantie van plus of min twee centimeter scheelt in het ongunstigste geval dus 0,16 seconde. Op de duizend meter scheelt het natuurlijk maar 0,016 seconde, maar dat is nog steeds ruimschoots binnen de mogelijkheden van de stopwatch.
Het feit dat een meting uitkomt op een lengte 400 meter plus of min 2 centimeter, betekent echter nog niet dat de baan werkelijk 400 meter plus of min 2 centimeter is. Er is speling in de voorschriften, maar er is ook speling in het meten -- elke meting draagt een onzekerheid, hoe gering ook, in zich, en die komt bovenop de tolerantie van de atletiekbond. En het meten van een atletiekbaan is niet simpel.
Meestal grijpt men naar de meetband. Dat zijn geijkte metalen linten van twintig, dertig of vijftig meter lang. Deze worden langs het betonnen opstaande randje van de binnenbocht gelegd en strakgetrokken. Er moet worden gemeten bij twintig graden Celsius met een trekkracht van 5 kilogram, maar het is niet zo moeilijk hiervoor te corrigeren. Lastiger is het om de meetlinten steeds precies op elkaar te laten aansluiten. Het lint moet worden strakgetrokken langs de betonnen rand, en die moet strak zijn aangelegd, anders meet je de golvingen van het beton in plaats van de lengte van de baan. Bovendien kan de lengte van het lint wel worden gecorrigeerd voor de temperatuur, maar die van de baan niet. De baan zelf zet uit als de zon erop schijnt.
Tegenwoordig wordt ook landmeetkundige apparatuur gebruikt. Die is, voor het rechte stuk, weer nauwkeurig op de millimeter -- maar het nameten van de bocht is heel wat ingewikkelder. Er zijn verschillende manieren om dit probleem op te lossen, maar daarbij wordt steeds niet de echte bocht, maar de wiskundige benadering van de bocht gemeten. Hiermee wordt een fout van zeker een centimeter geïntroduceerd.
Hoe dan ook, de ware lengte van een atletiekbaan weet niemand. Aannemend dat de allerbeste ploeg aan het werk is, zal de allerbeste atletiekbaan tussen de 400,025 en 399,975 meter meten. Met een baansnelheid op de tien kilometer van 6,17 meter per seconde loopt het verschil per ronde op met 0,008 seconde tot in totaal 0,2 seconde. Het is duidelijk dat ook hier 'naïef klokken' onvoldoende is om records met honderdsten van seconden te laten breken.
De internationale atletiek is zich van geen kwaad bewust. Het wereldrecord tien kilometer hardlopen voor vrouwen werd in 1983 in Krasnodar met twee honderdste seconde verbeterd -- het oude record, gelopen in Londen, stond op 31:35,03. De erkenning van het record veronderstelt dat de lengtes van de banen van Krasnodar en Londen tot op vijf millimeter gelijk waren.
Wat voor zwemmen en hardlopen geldt, geldt ook voor schaatsen of wielrennen. Fouten in de baan tellen bij schaatsen overigens minder, omdat er harder gereden wordt en elke centimeter afwijking minder seconden scheelt. Maar op tien kilometer kan het toch nog flink oplopen.
Het werelduurrecord wielrennen wordt tot op de centimeter nauwkeurig opgegeven na meer dan honderdvijftig ronden. Zelfs om vijf meter op dit record als werkelijke verbetering aan te merken, getuigt al van overmatig vertrouwen in de meetapparatuur.
Er zijn twee oplossingen. Bij records waarbij de lengte van de baan nog betrekkelijk exact kan worden gemeten -- waarbij de meetfout dus ruim binnen de tolerantie zit -- zou men de records kunnen corrigeren voor de afstand. Dan blijft het mogelijk om zinvol te spreken over honderdsten van een seconde verschil, eventueel binnen de grenzen van de meetonzekerheid.
Maar bij banen van ‘onbekende’ lengte zit er niets anders op dan de recordjacht op honderdsten -- en soms zelfs tienden -- van een seconde te staken. Dan gaat iedereen met 4:31,9 even hard, of het nu 4:31,99 of 4:31,90 was. Het voordeel daarvan is ook nog, dat de winnaars wat langer van hun record kunnen genieten.