Van Maanen Hans van Maanen
klikklikklikklik

De wet van...

Wat hebben Archimedes, Lavoisier, Kepler, Mendel en Parkinson gemeen? Ieder op hun gebied waren het grote geleerden die in de geschiedenis van de wetenschap hun ereplaats ruim verdiend hebben. Maar hun bekendheid reikt verder dan die van menig even bekwaam en geleerd vakgenoot, doordat zij hun naam hebben gegeven aan befaamd geworden wetten.
In dit boekje worden de bekendste wetten, achtentwintig in getal, op een rij gezet. Wetten uit de natuurkunde, de scheikunde en de astronomie, maar ook biologische, economische en sociologische wetten. Samen geven zij een origineel beeld van de ontwikkeling van de wetenschap.

Uitgeverij Boom, Amsterdam
Derde druk. Eerste druk 1988, uitverkocht.
ISBN 90-6009-865-1

- In september 2004 herdrukt als 'Archimedes, Newton, Murphy'


Inhoud


Voorwoord
Archimedes (220 v.C)
Kepler (1609)
Snellius (1621)
Torricelli (1642)
Pascal (1653)
Boyle (1662)
Newton (1687)
Bernoulli (1738)
Lavoisier (1770)
Bode (1772)
Coulomb (1778)
Lamarck (1800)
Say (1803)
Proust (1806)
Dalton (1808)
Gay-Lussac (1808)
Avogadro (1811)
Ohm (1826)
Faraday (1834)
Joule (1843)
Buys Ballot (1857)
Weber (1860)
Mendel (1857)
Planck (1900)
Einstein (1905)
Benford (1938)
Murphy (1949)
Parkinson (1957)


Willebrord Snel van Royen (1580-1626)

De badman doezelt in zijn strandstoel. Plotseling klinkt hulpgeroep: honderd meter verderop dreigt iemand te verdrinken. De badman moet er zo snel mogelijk heen- welke weg kiest hij?

De kortste weg, zo zegt men, is de rechte lijn, maar daar heeft de badman in dit geval niet veel aan. In zee is hij veel langzamer dan op het strand, dus als hij in een rechte lijn naar de drenkeling zou gaan, zwemt hij onvoordelig lang. Maar helemaal doorrennen tot pal voor de drenkeling is ook onvoordelig, want dan wordt de totale weg misschien te lang. Hij zoekt niet de kortste maar de snelste weg.

Een heel andere vraag hield de geleerden aan het begin van de zeventiende eeuw bezig. Een stok die in het water staat, lijkt gebroken. Een net niet zichtbare munt op de bodem van een beker, zo had Archimedes al opgemerkt, zien we als de beker met water is gevuld. De lichtstralen worden aan de waterspiegel afgebogen, maar welke weg volgen ze daarbij?
Het probleem was vooral nijpend bij een ander ’medium’, bij glas. In 1609 had Galilei zijn eerste waarnemingen door een telescoop gedaan, en er was grote behoefte aan een theorie voor de lenzen. Wat gebeurde er precies als een lichtstraal door glas heengaat? Hoe konden lenzen beter en sterker worden gemaakt en wat voor soort glas moest worden gebruikt? En vooral: hoe kon Galilei beweren betrouwbare waarnemingen te doen als hij niet eens in staat was te verklaren hoe zo’n telescoop precies werkte?

Johannes Kepler probeerde een alomvattende formule voor alle mediums op te stellen, maar hij kwam niet verder dan een heleboel tabellen met cijfers. Een eenvoudig verband kon hij niet ontdekken.

Dat lukte Willebrord Snel van Royen wel, in 162I. Snel van Royen was hoogleraar in Leiden en noemde zich in zijn wetenschappelijke geschriften Snellius. Na jaren experimenteren en het lezen van vele wetenschappelijke werken, waaronder die van Kepler, vond hij ten slotte de oplossing. Hij formuleerde het verband wat ingewikkeld, maar dank zij de wiskunde en dank zij de Franse geleerde Descartes hebben we een eenvoudiger formulering voor de wet van Snellius: voor elke stof bestaat een vaste verhouding tussen de sinus van de hoek van inval en de sinus van de hoek van breking. Die vaste verhouding noemen we de brekingsindex van de stof. De brekingsindex van glas is 1,5, van water 1,3 en van diamant 2,5.

Descartes publiceerde zijn vondst in 1637, terwijl Snellius zijn wet niet had gepubliceerd. De Nederlandse geleerde Christiaan Huygens, die zei Snellius’ manuscript te hebben gezien, beschuldigde de Fransman dan ook prompt van plagiaat --waarschijnlijk ten onrechte.

Descartes deed overigens geen experimenten: hij dacht na. Merkwaardig genoeg kwam hij op grond van twee onjuiste veronderstellingen tot een juiste conclusie; hij dacht onder andere dat in een dicht medium (glas) het licht sneller ging dan in een minder dicht (lucht).Dat idee werd bestreden door Pierre de Fermat, die zei dat licht langzamer gaat in een dichter medium. En de natuur, aldus Fermat, volgt altijd de weg van de minste weerstand. Door de wet van Snellius te volgen houden de lichtstralen zich aan dit inmiddels befaamde principe. Ze zorgen ervoor dat ze zo snel mogelijk door het dichte medium gaan.

En zo komen we terug bij onze hollende badman. Als hij weet hoeveel langzamer hij gaat in zee dan op land, kan hij met de wet van Snellius uitrekenen welke weg hij moet nemen om zo snel mogelijk bij de drenkeling te zijn. Al is het te hopen dat hij op zijn gevoel werkt, want de constructie is geen werkje van een paar seconden.

De moderne natuurkunde geeft Fermat dus gelijk, maar met een volstrekt andere redenering. Licht ’wil’ natuurlijk helemaal niets. In 1854 slaagde de Fransman Jean Foucault erin de snelheid van het licht in verschillende stoffen te bepalen, en hij vond dat licht in water en glas minder snel gaat dan in lucht. Daarmee loste hij ook definitief een probleem op dat de geleerden sinds de zeventiende eeuw had beziggehouden. Isaac Newton zei, net als Descartes maar op grond van proeven, dat een lichtstraal uit een stroom deeltjes bestaat. In zijn theorie moet licht in glas sneller gaan dan in lucht om de wet van Snellius te laten gelden. Christiaan Huygens zei dat licht een soort golfbeweging is, en dat licht langzamer gaat in glas. Foucaults bepaling van de lichtsnelheden gold als definitieve weerlegging van Newtons ’corpusculaire’ theorie -- tot Einstein in 1905 alles weer overhoop haalde.

De verhouding tussen de snelheden in lucht en een andere stof blijkt de brekingsindex van die stof te zijn. Licht gaat in vacuum met een snelheid van ruim een miljard kilometer per uur (299 792 458 meter per seconde om precies te zijn), en in glas zevenhonderd miljoen kilometer per uur.

Door de breking lijkt een voorwerp onder water dichterbij dan het is. Dieren die vissen vangen, houden daar rekening mee.

Lichtstralen afkomstig van een ster worden afgebogen door de steeds dichtere luchtlagen van de aarde: de ster staat hoger boven de horizon dan we denken. Zo ook zien we bij zonsondergang de zon nog terwijl die eigenlijk al onder de horizon is verdwenen.

Er kan iets vreemds gebeuren als de lichtstraal niet van lucht naar glas, maar van glas naar lucht gaat. Als de lichtstraal te schuin invalt, wordt hij niet gebroken maar teruggekaatst. Uit de bevindingen van Snellius valt eenvoudig te leren dat dit zal gebeuren als de sinus van de invalshoek groter is dan het omgekeerde van de brekingsindex -- voor glas is die ’grenshoek’ bijna 42 graden, voor water 48 graden. Wie onder water zwemt en naar boven kijkt, ziet slechts een betrekkelijk kleine lichtcirkel boven zich. Licht dat invalt onder een hoek kleiner dan de grenshoek wordt weerkaatst. Iemand die op de wal staat, zegt dan dat het water spiegelt. Hoe groter de brekingsindex, hoe meer spiegeling vandaar de speciale aantrekkelijkheid van diamant.

Terug naar boven


Ernst Heinrich Weber (1795-1878)

Wie een tas met vijf kilo boodschappen tilt, voelt nog wel dat er een fles frisdrank bijkomt. Maar wie twintig kilo vasthoudt, merkt een extra kilootje amper. De wet van Weber geeft de verklaring.

In 1860 werd, met de publikatie van het boek Elementen der psychofysica van de Duitse geleerde Gustav Theodor Fechner, een nieuwe wetenschap geboren. Fechner was zijn loopbaan begonnen als natuurkundige, werd filosoof, schreef satirische verhalen, gedichten en een boek met raadseltjes en zette zich ten slotte aan de experimentele psychologie. Hij wilde de psychologie, zei hij, ’van onderaf bedrijven en haar grondvesten op het experiment in plaats van de metafysica. Hij wilde weten wat het verband is tussen ’objectief zwaar’ en ’subjectief zwaar’, meer in het algemeen tussen prikkel in de buitenwereld en waarneming in de hersenen.

Tijdens zijn onderzoekingen stuitte hij op het werk van zijn landgenoot Ernst Heinrich Weber, die dertig jaar eerder al onderzoek in deze richting had gedaan. Weber had daarbij verschillende zaken opgemerkt. Hoe kleiner het oorspronkelijke gewicht, hoe sneller het zintuig een verandering in het gewicht opmerkt. Er is een verband tussen de nog juist waargenomen verandering en de grootte van de oorspronkelijke prikkel. Na nog wat experimenteren vond Weber: de verandering van de prikkel gedeeld door de oorspronkelijke prikkel is constant. Met andere woorden, als u van 10 tot 11 kilo nog net merkt (verandering: 1 kilo, is tien procent van 10 kilo), dan merkt u ook het verschil tussen 100 en 110 kilo (ook tien procent), maar van 100 naar 101 merkt u nog niet. Onze zintuigen meten in verhoudingen, niet in verschillen.

Weber ontdekte dat alle zintuigen in percentages werken waar natuurkundigen in verschillen denken: ook tastzin, helderheid, kleur, smaak, gehoor enzovoort. Weliswaar zijn sommige mensen gevoeliger dan andere -- zij hebben minder procenten nodig om een verschil te merken -- maar per proefpersoon en per zintuig klopt het ongeveer. Voor gewichten geldt dat een toename van drie procent nog net merkbaar is. Weber viel het ook nog op, dat ’eraf’ gevoeliger is dan ’erbij’: als twee gewichten van uw hand worden afgenomen, kunt u kleinere verschillen voelen dan wanneer ze op uw handen worden gezet.

Toen in Nederland in 1978 voor het eerst sprake was van de invoering van een vijfguldenstuk, stuurde een aantal psychologen een rapport naar de regering waarin werd gewezen op de betekenis van Weber voor de numismatiek. De psychologen, onder leiding van de hoogleraren W. A. Wagenaar en P. A. Vroon, hadden proeven gedaan met de ’kleine’ rijksdaalder die tien jaar eerder was uitgebracht. Getuige de klachten en de plakkertjes verwarde men de nieuwe rijksdaalder gemakkelijk met de gulden. De gulden is 25 millimeter in doorsnee, de oude rijksdaalder was 33 millimeter en de nieuwe 29 millimeter. De oude rijksdaalder was dertig procent groter dan de gulden, en dat is blijkbaar voldoende voor het onderscheid. De vier millimeter verschil tussen gulden en nieuwe rijksdaalder komt neer op elf procent, te weinig.

Vandaar de waarschuwing dat het nieuwe vijfguldenstuk in verhouding tot de stuiver niet te klein moest zijn. Het koperen vijfguldenstuk, dat in mei 1988 werd ingevoerd, heeft een doorsnee gekregen van 23 millimeter. Daarmee is het amper tien procent groter dan de stuiver van 21 millimeter, nog minder dan de verhouding tussen gulden en rijksdaalder. De stroom klachten over verwarring tussen de twee munten was dus voorspeld door een ’niet-exacte wetenschap’.

Fechner zag honderd jaar geleden beter het belang van Webers bevindingen en hij grondvestte er de psychofysica op. Hij breidde de onderzoekingen verder uit en ontdekte dat er een nog sterker verband tussen gewichtsverandering en gewicht is: proefpersonen beoordelen de nog juist waar te nemen verandering ook werkelijk steeds gelijk. Met andere woorden, een gewichtstoename van 1 kilo bij 10 kilo lijkt net zo veel zwaarder als een gewichtstoename van 10 kilo bij 100 kilo. Met weer andere woorden, als wij menen dat een geluid twee keer zo hard is als een ander, is het objectief (uitgedrukt in energie per oppervlak) honderd keer zo sterk en als wij menen dat het drie keer zo luid is, is het duizend keer zo sterk. En met nog enige wiskunde erbij volgt dan de wet van Weber zoals die door Fechner is geformuleerd: de sensatie is evenredig met de logaritme van de prikkel. (De logaritme geeft, in dit verband, aan hoeveel nullen er voor de komma staan: de logaritme van 10 is 1, log 100 = 2 en log 1000 = 3. Preciezer gezegd geeft de logaritme van x aan tot welke macht we 10 moeten verheffen om x te krijgen.)

Wie niet van logaritmes houdt, mag ook zeggen: als de prikkel toeneemt volgens een meetkundige rij, neernt de gewaarwording toe volgens een rekenkundige rij. Als een geluid objectief 10, 100, 1000 keer zo sterk wordt (een meetkundige rij met rede 10), ervaren we het als 1, 2, 3 keer harder (een rekenkundige rij met verschil 1).

In de astronomie kent men de magnitudeschaal, die werkt met een rede van ongeveer 2,5: een ster die schijnbaar 1, 2, 3 keer helderder is dan een andere, is in werkelijkheid 2,5, 6,3, 15,9 maal zo lichtsterk.

Fechner noemde de door hem gevonden wet naar Weber. Toen andere geleerden daarachter kwamen, noemden zij de wet dan ook de wet van Weber en Fechner, of de wet van Fechner en Weber, of de wet van Fechner.

Zijn onderzoekingen leidden, zoals gezegd, tot veel nieuwe inzichten -- en tot hevige controverses. Het grootste probleem is natuurlijk dat wij niet gewend zijn onze waarnemingen in cijfers uit te drukken. Wanneer is iets drie keer zo licht, zo groen, zo zwaar als iets anders? Rood is toch niet het produkt van vijf rozes? De objectieve prikkel is te meten, de subjectieve gewaarwording niet. Dat probleem is nog steeds niet helemaal opgelost, maar modern elektrofysiologisch onderzoek kan toch wel enig verband tussen de twee leggen. Men kan de signalen meten die bij een bepaalde prikkel door een zenuw heengaan, en dan blijkt, met het nodige voorbehoud, dat er inderdaad een redelijk logaritmisch verband is tussen prikkel en signaal naar de hersenen.

Terug naar boven